Question

已知F1，F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。

已知F1，F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若三角形ABF2为锐角三角形,则双曲线的离心率e的取值范围是______

为什么角AF2F1要小于45°？
应该是为什么角AF2B要小于45°？

Answer 1

解：
过F1且垂直于x轴的直线为x=-c
则 交点A(-c,b^2/a)
由对称性 得 F2A=F2B
从而 ∠F2AB=∠F2BA，肯定是锐角 [否则 ∠F2AB+∠F2BA>180度 三角形ABF2两内角和不可能大于180度 ]
∵∠AF2B是锐角
∴∠AF2F1<π/4
从而 F1F2>AF1
则 2c>b^2/a
从而 2ac>b^2=c^2-a^2
同时除以a^2
e^2-2e-1<0
1-√2<e<1+√2
而 e>1
∴e的范围是(1,1+√2)