Question

数学题，求教

Answer 1

这是一个含参变量积分的导数问题：
g(x,w)=sin(x-w)w² ，那么：
u'(x)=∫ ∂g(x,w)/∂xdw+g(x, x)=∫ cos(x-w)w²dw
u''(x)=-∫ sin(x-w)w²dw+w²=-u+w²
u''+u=w²

追问

答案倒是类似，但是您的推导我看不太懂，似乎有问题啊

追答

学过含参变量积分的导数吗？

追问

交换积分和导数，了解，可是为什么第一个后面有 g(x,x)第二个后面有 w^2呢？

追答

g(x,w)=sin(x-w)w² , ∂g(x,w)/∂x=cos(x-w)w² g(x,x)=sin(x-x)w²=0
这时：h(x,w)=cos(x-w)w², ∂h(x,w)/∂x=-sin(x-w)w² h(x,x)=cos(x-x)w²=w²

追问

当交换 积分和导数时，后面为什么要加上 g（x，x）呢？

追答

没学过含参变量积分的导数。我那里写错不是w²，是u''+u=x²
用sin(x-w)=sinxcosw-cosxsinw吧：
u=sinx∫w²coswdw-cosx∫w²sinwdw
u'=cosx∫w²coswdw+x²sinxcosx+sinx∫w²sinwdw-x²sinxcosx
=cosx∫w²coswdw+sinx∫w²sinwdw
u''= -sinx∫w²coswdw+x²cos²x+cosx∫w²sinwdw+x²sin²x
=-[sinx∫w²coswdw+cosx∫w²sinwdw]+x²=-u+x²
u''+u=x²

Answer 2

d(u(x))/dx=2(x-sinx)
d^2(u(x))/dx^2=2-2cosx
所谓二阶微分方程就是含有u''(x)的微分方程，所以求二阶导数其实就可以了。
这个题的原题是09年GRE SUB MATH的一个选择题。

追问

能给一个详细的运算过程么?
因为我算的和你完全不一样啊，展开sin(x-w) 或者替换t=x-w，我算出来的怎么和您的不一样，能提供以下 详细的过程么

追答

Answer 3

直接将sin(x-w)展开，然后你会发现很简单

追问

我知道怎么求它的二阶，但是我不知道怎么求其满足的二阶微分方程