Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,当n≧2时,Sn-1+1,an,Sn+1成等差数列

求证{Sn+1}是等比数列

Answer 1

1.
n≥2时，S(n-1)+1，an，Sn+1成等差数列，则
2an=S(n-1)+1+Sn+1
2[Sn-S(n-1)]=S(n-1)+Sn+2
Sn=3S(n-1)+2
Sn+1=3S(n-1)+3=3[S(n-1)+1]
(Sn+1)/[S(n-1)+1]=3，为定值。
S1+1=2+1=3
数列{Sn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。
2.
Sn+1=3×3^(n-1)=3^n
Sn=3^n -1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=3^n-1-3^(n-1)+1=2×3^(n-1)
n=1时，a1=2×3^0=2×1=2，同样满足通项公式。
数列{an}的通项公式为an=2×3^(n-1)
nan=2n×3^(n-1)
Tn=a1+2a2+...+nan=2×[1×1+2×3+3×3^2+...+n×3^(n-1)]
令Cn=1×1+2×3+3×3^2+...+n×3^(n-1)
则3Cn=1×3+2×3^2+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3^n
Cn-3Cn=-2Cn=1+3+3^2+...+3^(n-1)-n×3^n=1×(3^n-1)/(3-1)-n×3^n=[(1-2n)/2]×3^n -1/2
Tn=2Cn=[(2n-1)/2]×3^n +1/2

这题刚才有人出过了。

Answer 2

证明：
an
=
sn
-
s(n-1)
∴2an=sns(n-1)
2sn-2s(n-1)=sns(n-1)
当sn≠0时，上式两边同除sns(n-1)，则：
2/s(n-1)-2/sn=1
因此：1/sn
-
1/s(n-1)=-1/2
所以：数列{1/sn}是公差为-1/2，首项为1/s1=1/3的等差数列