Question

为什么证明数列极限的时候要取任意给定的ε，而不取某个ε?

Answer 1

1、我们学极限，教极限，都系统性地犯了一个错误，我们浑然不觉，
即使点出问题的症结，由于我们平时养成了严重的汉语沙文主义，
总以为我们的语言至高无上，从不接受任何反思，建设性的建议
也不接受，还会给建议者、反思者戴上各种帽子；

2、limit，我们翻译成“极限”，一般情况下，无可非议。可是在数学的
limit 理论中，并不尽善尽美。因为我们过于强调了limit的一面，也
就是我们太过强调了“限制”、“不可能达到”、“封顶”、、、、之类
的意思，而忽略了英文中的另一层含义，就是tendency、trend、
approches、continuously goes、、、、、这层意思是“趋势”，是
无止境的一个趋势。我们集体眼高手低，几乎人人犯了一个主观
错误，就是用我们的极限的“限”字，代替了趋势的“趋”头；

3、极限的概念，我们古代由来已久。诡辩学，我们也有很多的历史
记录，可是我们没有精益求精，我们满足于摇头晃脑，我们固步
自封了。西方在limit、paradox=悖论上，继续不断开拓，先有了
极限理论，后来随即就发展出微积分理论。迄今为止，虽然在极
其庞大的现代科学理论、数学理论中没有我们炎黄子孙的足迹，
我们还是自我感觉良好，没有丝毫隐患意识，没有感觉到古人尚
可与西方齐头并进，为何今人没有任何发言权？所以，在理论上，
我们与当代科学、当代数学的差距还在日益扩大，有限的几十年、
百来年之内是不可能看到起色的，让我们拭目以待吧；

4、极限的证明过程，就是辩论的过程，就是争吵的过程：
a、我的身高越来越接近于姚明，我跟姚明一样高；
b、你不同意。你说：还差1厘米；
c、我说：你等着，两天后，我与姚明的身高之差就小于1厘米；
d、两天后，你还是不同意。你说：还差1毫米；
e、我说：好，你再等一天。
f、一天后，你仍然不同意。你说还差1微米。
g、我说：你再等两小时。
、、、、、、、、、、、
这个过程，无止境地持续下去，你说，我的身高是不是等于姚明的身高？
你可以说不是，理由是：毕竟还差那么一点点，那么一点点点的一点点点。
你也可以说是，理由是：差距无止境的小，要多小就多小，理论上就相等了。

如果你坚持第一种说法，那么就打回了原形，这就是我们数学发展的紧箍咒！
如果你坚持第二种说法，那么就进入了佳境，这就是现代数学发展的里程碑！

5、4中的争辩、争吵还在继续进行。我不耐烦了，我说：
你别再给出具体数字了！
我替你给，这个数就是ε。
只要你给得出无论都小的ε，我都能算出一个时间，
到了这个时间，我跟姚明的身高的差距就小于你的这个ε！
这个ε，你可以无止境地改，越改越小，无论你改到多小，
我都能算出一个具体的时间，时间一到，你的说法就不成立了！

总结：
第一、以上的争吵说明了，ε 必须是任意小的数，而不能是具体的一个很小的数；
第二、由于ε可以无止境的小，这样才能表明我的身高的趋势是不可阻挡的，我的
身高的趋势(tendency)，就是姚明的身高。只要放眼下去，只要过程在进行，
我和姚明的身高之差可以要多小有多小。还有理由怀疑我跟姚明不一样高吗？
第三、我们把这种极限证明的方法称为“ε-δ语言”，其实在英文中并没有这样的说法，
这是我们的夸张说法、夸张翻译，英文中的说法很朴实，是 Precise Method。
第四、所有的微积分理论、公式、定理，统统都是基于这样的理论建立起来的。

如果细细评说，既可以写一本厚厚的《微积分》，也可以写一本厚厚的《中外科学
哲学之分水岭》。后面的书，必定会被国人骂死，会被口水淹死、呛死。无论多么
实事求是，无论多么发人深省，都不能写，一写就是历史的罪人。

欢迎追问。

Answer 2

为什么证明数列极限的时候要取任意给定的ε，而不取某个ε?
1、我们学极限，教极限，都系统性地犯了一个错误，我们浑然不觉，
即使点出问题的症结，由于我们平时养成了严重的汉语沙文主义，
总以为我们的语言至高无上，从不接受任何反思，建设性的建议
也不接受，还会给建议者、反思者戴上各种帽子；

2、limit，我们翻译成“极限”，一般情况下，无可非议。可是在数学的
limit 理论中，并不尽善尽美。因为我们过于强调了limit的一面，也
就是我们太过强调了“限制”、“不可能达到”、“封顶”、、、、之类
的意思，而忽略了英文中的另一层含义，就是tendency、trend、
approches、continuously goes、、、、、这层意思是“趋势”，是
无止境的一个趋势。我们集体眼高手低，几乎人人犯了一个主观
错误，就是用我们的极限的“限”字，代替了趋势的“趋”头；

3、极限的概念，我们古代由来已久。诡辩学，我们也有很多的历史
记录，可是我们没有精益求精，我们满足于摇头晃脑，我们固步
自封了。西方在limit、paradox=悖论上，继续不断开拓，先有了
极限理论，后来随即就发展出微积分理论。迄今为止，虽然在极
其庞大的现代科学理论、数学理论中没有我们炎黄子孙的足迹，
我们还是自我感觉良好，没有丝毫隐患意识，没有感觉到古人尚
可与西方齐头并进，为何今人没有任何发言权？所以，在理论上，
我们与当代科学、当代数学的差距还在日益扩大，有限的几十年、
百来年之内是不可能看到起色的，让我们拭目以待吧；

4、极限的证明过程，就是辩论的过程，就是争吵的过程：
a、我的身高越来越接近于姚明，我跟姚明一样高；
b、你不同意。你说：还差1厘米；
c、我说：你等着，两天后，我与姚明的身高之差就小于1厘米；
d、两天后，你还是不同意。你说：还差1毫米；
e、我说：好，你再等一天。
f、一天后，你仍然不同意。你说还差1微米。
g、我说：你再等两小时。
、、、、、、、、、、、
这个过程，无止境地持续下去，你说，我的身高是不是等于姚明的身高？
你可以说不是，理由是：毕竟还差那么一点点，那么一点点点的一点点点。
你也可以说是，理由是：差距无止境的小，要多小就多小，理论上就相等了。

如果你坚持第一种说法，那么就打回了原形，这就是我们数学发展的紧箍咒！
如果你坚持第二种说法，那么就进入了佳境，这就是现代数学发展的里程碑！

5、4中的争辩、争吵还在继续进行。我不耐烦了，我说：
你别再给出具体数字了！
我替你给，这个数就是ε。
只要你给得出无论都小的ε，我都能算出一个时间，
到了这个时间，我跟姚明的身高的差距就小于你的这个ε！
这个ε，你可以无止境地改，越改越小，无论你改到多小，
我都能算出一个具体的时间，时间一到，你的说法就不成立了！

总结：
第一、以上的争吵说明了，ε 必须是任意小的数，而不能是具体的一个很小的数；
第二、由于ε可以无止境的小，这样才能表明我的身高的趋势是不可阻挡的，我的
身高的趋势(tendency)，就是姚明的身高。只要放眼下去，只要过程在进行，
我和姚明的身高之差可以要多小有多小。还有理由怀疑我跟姚明不一样高吗？
第三、我们把这种极限证明的方法称为“ε-δ语言”，其实在英文中并没有这样的说法，
这是我们的夸张说法、夸张翻译，英文中的说法很朴实，是 Precise Method。
第四、所有的微积分理论、公式、定理，统统都是基于这样的理论建立起来的。

如果细细评说，既可以写一本厚厚的《微积分》，也可以写一本厚厚的《中外科学
哲学之分水岭》。后面的书，必定会被国人骂死，会被口水淹死、呛死。无论多么
实事求是，无论多么发人深省，都不能写，一写就是历史的罪人。

Answer 3

因为给定一个ε的话，比如等于1 ，就出现当另外一个ε=2时 这个东西不成立，就是没有极限，这不符合极限的定义

Answer 4

对于不同的ε，数列会有不同的N，当n>N时有|xn-xN|<ε,