Question

已知直线y=k(x-m)与抛物线y^2=2px交于A，B两点，且OA⊥OB，

OD⊥AB于D，诺动点D的坐标满足方程x^2+y^2-4x=0，则m=

Answer 1

已知抛物线y²=2px，过点O作OA、OB，若OA⊥OB，则直线AB恒过定点M(2p，0)

【注：此结论不是定理，但你查阅一些参考书的话，应该可以找到完整的证明的。

你就寻找这样的问题：
已知抛物线y²=4x，过原点O作两直线交抛物线于点A、B，若OA⊥OB，则：
(1)证明：直线AB恒过一定点，并求出这个定点；
(2)若作OD⊥AB于D，求点D的轨迹方程。】

则：OD⊥AB于点D，则点D是轨迹是以OM为直径的圆，即：
x²＋y²－4x=0
(x－2)²＋y²=4
从而得：OM中点是(2，0)
则：M(4，0)
所以，m=4

详细可参阅如下我的解答：http://zhidao.baidu.com/question/540385549?&oldq=1

追问

证明：直线AB恒过一定点，并求出这个定点；咋证明啊?(学会以后好用)

追答

设直线OA的方程是：y=kx
此直线与抛物线y²=2px的交点是A(2p/k²，2p/k)
同理，得：B(2pk²，－2pk)
得到直线AB的方程[含有k、p]，化简后以点(2p，0)代入测试下。。

追问

嗯，谢了

追答

不客气。

Answer 2

　　因为D在直线y=k(x-m)，
　　所以可设D坐标为（x,k(x-m)）。
　　OD的斜率k'=k(x-m)/x,
　　由OD垂直AB，AB的斜率为k，则有k*k'=k^2(x-m)/x=-1，即k(x-m)=-x/k.
　　又因为动点D的坐标满足x^2+y^2-4x=0，即x^2+（k(x-m)）^2-4x=0，
　　将k(x-m)=-x/k代入可解得x=(4k^2)/(k^2+1),
　　最后再代入到k*k'=k^2(x-m)/x=-1化简得4k^2-mk^2+4-m=0,即(4-m)*(k^2+1)=0,
　　由于k^2+1不可能等于0，
　　则只有4-m=0,
　　故m=4