Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3。。。。。 求数列an

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3。。。。。 求数列an通项公式；若数列bn满足b1=1，且b(n+1)=bn+an，求bn通项公式；设cn=n(3-bn)，求数列cn前n项和Tn

Answer 1

n=1时，S1=a1=2-a1
2a1=2
a1=1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2-an-2+a(n-1)
2an=a(n-1) an/a(n-1)=1/2，为定值。
数列{an}是以1为首项，1/2为公比的等比数列。
an=1×(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=1/2^(n-1)
b(n+1)=bn+an
b(n+1)-bn=an=1/2^(n-1)
bn-b(n-1)=1/2^(n-2)
b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-3)
…………
b2-b1=1/2^0
累加
bn-b1=1/2^0+1/2+...+1/2^(n-2)=1×[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)=2 -1/2^(n-2)
bn=b1+2-1/2^(n-2)=1+2-1/2^(n-2)=3- 1/2^(n-2)
数列{bn}的通项公式为bn=3- 1/2^(n-2)
cn=n(3-bn)=n[3-3+1/2^(n-2)]=n/2^(n-2)
Tn=c1+c2+...+cn=1/2^(-1)+2/2^0+3/2+...+n/2^(n-2)
Tn/2=1/2^0+2/2+...+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)
Tn-Tn/2=Tn/2=1/2^(-1)+1/2^0+...+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
=2×[1-(1/2)^n]/(1-1/2) -n/2^(n-1)
=4 -(n+2)/2^(n-1)
Tn=8-(n+2)/2^(n-2)

Answer 2

Sn=2-an

a1=1, a2=1/2, a3=1/4猜想an=2^(1-n);则sn=2-2^n
Sn+1=Sn+an+1=2-an+1 an+1=2^n；所以猜想成立
b1=1, b2=2,b3=5/2,b4=11/4,b5=23/8...............bn=3-4/2^n则bn+1=3-4/2^n+2/2^n=3-2/2^n=3-4/2^(n+1)所以猜想成立
cn=n(3-bn)=4n/2^n
Tn= 4/2+8/4+12/8+16/16+20/32+.........+4(n-1)/2^n-1+4n/2^n
2Tn=4+8/2+12/4+16/8+20/16+...................+4n/2^n-1
两式相减
Tn=8-4/2^n-4n/2^n-1

Answer 3

解:
(1)a(n)=S(n)-S(n-1)=2-a(n)-2+a(n-1)
2a(n)=a(n-1)
q=a(n)/a(n-1)=1/2
a(1)=S(1)=2-a(1),a(1)=1
故数列a(n)是以1为首相,1/2为公比的等比数列
a(n)=(1/2)^(n-1)
(2)
b(n)-b(n-1)=a(n-1)=(1/2)^(n-2)
b(n-1)-b(n-2)=a(n-2)=(1/2)^(n-3)
..................................................
b(2)-b(1)=a(1)=1
叠加得:
b(n)-b(1)=b(n)-1=[1-(1/2)^(n-1)]/[1-(1/2)]=2-(1/2)^(n-2)
b(n)=3-(1/2)^(n-2)

Answer 4

（1）当n≥2时，
an=sn-s(n-1)
=(2-an)-(2-a(n-1))
=a(n-1)-an
2an=a(n-1)
an/a(n-1)=1/2
a1=s1=2-a1，2a1=2，a1=1≠0
∴a1是首项为1，公比为1/2的等比数列，
∴an=(1/2)^(n-1)
（2）nan=n(1/2)^(n-1)
tn=1(1/2)^0+2(1/2)^1+...+(n-1)(1/2)^(n-2)+n(1/2)^(n-1)
1/2tn=1(1/2)^1+2(1/2)^2+...+(n-1)(1/2)^(n-1)+n(1/2)^n
(1-1/2)tn
=1/2tn
=1(1/2)^0+(1/2)^1+(1/2)^2+...+(1/2)^(n-1)-n(1/2)^n
=1-n(1/2)^n+[(1/2)^1+(1/2)^2+...+(1/2)^(n-1)]
=1-n(1/2)^n+(1/2)(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)
=1-n(1/2)^n+(1-(1/2)^(n-1))
=1-n(1/2)^n+1-(1/2)^(n-1)
=2-n(1/2)^n-2(1/2)^n
=2-(n+2)(1/2)^n
∴tn=4-2(n+2)(1/2)^n=
4-(n+2)(1/2)^(n-1)

Answer 5

解：（1）∵Sn=2-an，∴当n=1时，S1=2-a1，∴a1=1，
当n≥2时，Sn-1=2-an-1，
∴an=Sn-Sn-1=（2-an）-（2-an-1），得an=12an-1，
∴数列{an}是以a1=1为首项，12为公比的等比数列，
∴数列{an}的通项公式是an=(12)n-1．
（2）由bn+1=bn+an，且an=(12)n-1，
∴bn-1-bn=（12）n-1，
则b2-b1=(12)0，b3-b2=(12)1，b4-b3=(12)2，…，bn-bn-1=（12）n-2，
以上n个等式叠加得：
bn-b1=(12)0+(12)1+(12)2+…+(12)n-2
=1-(12)n-11-12
=2[1-（12）n-1]
=2-12n-2，
∵b1=1，∴bn=3-12n-2．