Question

如图所示 在平行四边形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，且AE=FC，AF与BE相交于点G CE与DF相交于点H

试猜想EF和GH之间的关系 并加以证明

Answer 1

猜想：EF和GH互相平分。
证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC
∵AE=CF∴DE=BF
∴四边形AFCE、EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴AF∥EC BE∥DF
∴四边形EGFH是平行四边形
∴GH、EF互相平分

Answer 2

EF和GH相互平分。
由AE=CF，AB=CD，∠BAC=∠DCB，
∴△ABC≌△CDF（SAS）

∴BE=CF。得EG∥FH。

又∠AEB=∠EBC=∠DFC，
∴EG∥FH，

∴四边形EGFH是平行四边形，

∴EF和GC相互平分。

追问

EG//FH不足以证明四边形EGFH是平行四边形啊

追答

由AB=CD，BF=DE，∠B=∠D，
∴△ABF≌△CDE（SAS0

∴∠AFB=∠DEC=∠ECB，

即GF∥EH（我本来想写同理：GH∥EH，对不起）

Answer 3

需要分类讨论，因为与E，F位置有关，说明如下：
可以证明EGFH是平行四边形：
因为ED平行=BF，所以EG平行HF
同样AE平行=FC，所以EH平行FH
所以可以证明EGFH是平行四边形

若AF垂直BE，则EGFH是矩形，相等；
结合平行四边形性质：
若角EGF为锐角，则GH>EF
若角EGF为钝角，则GH<EF

Answer 4

证明：
设EF与BD交于O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC
∵AE//FC
∴四边形AECF是平行四边形
∴AF=EC
∴AD-AF=BC-EC
即DF=BE
∵AD//BC
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO
∴⊿DFO≌⊿BEO（ASA）
∴DO=BO
∴EF过BD的中点。