Question

已知函数f(x)=x^2+ax+3

（1）若f(x)>=a对a属于【-1，1】恒成立，求实数x取值范围
（2）若f(x)>=a对x属于【-2,1】恒成立，求a取值范围

Answer 1

(1) f(x)>=a,则 f(x)-a=x^2+ax+3-a>=0;
当a=-1，有x^2-x+4=(x-1/2)^2+15/4>=0，可得x为任意实数；
当a=1，有x^2+x+2=(x+1/2)^2+7/4>=0，可得x为任意实数；
因此实数x的范围为任意实数；
（2）f(x)-a=x^2+ax+3-a=(x+a/2)^2+3-a-a^2/4>=0;
当x=-2时，有4-2a+3-a>=0，因此有 a<=7/3； (解1)
当x=1时，有1+a+3-a>=0; （恒成立）
当x=-a/2时，有最小值，即3-a-a^2/4>=0，即a^2+4a-12=(a-2)(a+6)<=0; 有 -6<=a<=2;（解2）
由于x属于[-2,1]，x=-a/2，即a=-2x，则a属于[-2,4]；（解3）
因此综上，a为上面三个解的并集，可以得到属于[-2,2]

Answer 2

f(x)>=a,
<==>a(1-x)<=x^+3,
(1)若f(x)>=a对a属于[-1，1]恒成立,
<==>-(1-x)<=x^+3,1-x<=x^+3,
<==>x^-x+4>=0(恒成立）,x^+x+2>=0(恒成立）,
∴x的取值范围是R.
(2)f(x)>=a对x属于[-2,1]恒成立,
<==>g(x)=x^+ax+3-a>=0,
<==>-a/2∈[-2,1],g(-a/2)=3-a-a^/4>=0,
或-a/2<-2,g(-2)=7-3a>=0,
或-a/2>1,g(1)=4>0,
<==>a∈[-2,4],a^+4a-12<=0,
或a>4,a<7/3,
或a<-2,
<==>a<=2,为所求.

追问

为什么-(1-x)x^-x+4>=0(恒成立）,x^+x+2>=0(恒成立）,？

追答

g(a)=a(1-x)g(-1)<x^+3,g(1)<x^+3,
而后变形，用判别式即可.