Question

求教 已知 y=1 ，y=x ，y=x^2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解 则该方程的通解为

答案说 非齐次线性微分方程两个特解的差是其对应的齐次线性微分方程的特解，这是为什么呢？只有这一点不懂，其余的我都知道，学长学姐们帮忙啊，很急，说的明白点！

Answer 1

通解是y=C1(x^2-1)+C2(x-1)+1。

解：∵y1=1, y2=x , y3=x^2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解

∴y3-y1=x^2-1和y2-y1=x-1是对应齐次方程线性无关的两个解

则此齐次方程的通解是y=C1(x^2-1)+C2(x-1) (C1,C2是常数)

∵y1=1是该方程的一个解

∴该方程的通解是y=C1(x^2-1)+C2(x-1)+1。

扩展资料：

简单来讲，线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

线性微分方程的一般形式是：

其中D是微分算子d/dx（也就是Dy = y'，D2y = y"，……），  是给定的函数。这个微分方程是n阶的，因为方程中含有y的n阶导数，而不含n+1阶导数。

参考资料：百度百科-线性微分方程

Answer 2

首先这三个解都是非齐次方程的特解，其次因为它们是线性无关的，所以任意两个解之差是对应齐次方程的解。写通解的时候可以以其中任意一个为非齐次的特解，然后任意两个解之差作为对应齐次方程的通解。比如C1(1-x^2)+C2(x-x^2)+x^2或者C1(x^2-x)+C2(x^2-1)+x类似可以写出很多。
这道题在同济高等数学上是一个习题，答案只给出了其中一种形式而以。

Answer 3

非齐次线性微分方程两个特解的差是其对应的齐次线性微分方程的特解

如u''+au'+bu=f(x) v''+av'+bv=f(x)
两式相减即可得 (u-v)''+a(u-v)'+b(u-v)=0
即u-v为齐次线性微分方程的特解

追问

同济书上怎么没有啊？我怕我看书有的没看到，这种是不是在复习全书里面的？

追答

每本书不可能将所有问题都讲的特别明白。像这种类似基本性质的东西自己能很简单推导的根本不需要出现在那本书中，只能说你做的题太少了

追问

说的我心里慌啊，我在做题目的时候看到了 呵呵

Answer 4

a+bx+cx^2
简单的说就是三个解的线性组合
线性微分方程的两个特解的差当然是两个特解的线性组合，因此也是特解

Answer 5

由两特解带入方程得到两等式，作差，通过简单变形就可以化成以两特解差为解的方程。