Question

若关于x的方程ax^2+2(a-3)x+a-13=0至少有一个整数的根，求正整数a的值

Answer 1

先考虑a=0的情况，再考虑a<>0的情况。a=0时，-6x-13=0，x不是整数。a<>0时，以a为未知数得
（x^2+2x+1)a-6x-13=0,则使(13+6x)/(x+1)^2为正整数且x为整数时即可。
故答案为a=1或13

Answer 2

解：当a=0时，原方程化为-6x-2=0,x=-1/3不是整数，所以a≠0
原方程有整数根，则至少其判别式应当为完全平方数
其判别式为：4(a-3)^2-4a(a-2)=36-16a=4×(9-4a)
所以，a=2,此时，原方程化为2x^2-2x=0,x=0或x=1是整数
因此，a=2

当a为正整数时，可用上面的解法，但如果a是整数，则可用另一种解法。

ax²+2(a-3)x+a-2=0
ax²+2ax-6x+a-2=0
a(x²+2x+1)=6x+2
a=(6x+2)/(x+1)²
x和a都是整数，则当x≥6或x≤-8时，(x+1)²>|6x+2|
a不可能为整数，因此，-7≤x≤5且x≠-1
当x=-7,x=-6,x=-5,x=-4,x=2,x=3,x=4,x=5时，a都不是整数
因此，
当x=-3时，a=-4
当x=-2时，a=-10
当x=0时，a=2
当x=1时，a=2
综上，a=2,或a=-4,或a=-10

Answer 3

1.当a=0时，不成立；
2.当a<>0时，又b^2-4ac>=0,推出 28a<=36,因为a为正整数，所以a=1;
把a=1带入原方程，得
x^2-4x-12=0,算出，x=6或x=-2,成立
综上所述，a=1

Answer 4

则需要满足判别式大于等于零，即
[2（a-3）]^2-4*a*(a-13)>=0
化简得24a<=88
即a<=11/3
因为a是正整数，所以a的值为1,2,3.

Answer 5

根据题意，b�0�5-4ac应该是一个完全平方数。b�0�5-4ac=[2(a-3)]�0�5-4ax(a-13)=28a+36 a=1