Question

已知直角三角形ABC中的两直角边AC=b,BC=a,斜边AB=c,周长为定值L,求斜边最小值。

Answer 1

a+b+c=L
三角形ABC为直角三角形且角C=π/2，则
a=csinA，b=c cosA，
所以csinA＋ccosA＋c=L，
即：
c=L/[1＋sinA＋cosA]=L/[1＋√2sin(A＋π/4)]，
分母[1＋√2sin(A＋π/4)]最大，即sin(A＋π/4)]最大=1时 c最小
(A＋π/4)=π/2
A=π/4
则当A=π/4时，c取得最小值，
最小值是c=L/(1＋√2)=(√2－1)L

Answer 2

等腰直角三角形时,斜边最小
c^2=a^2+b^2=2a^2
c=√2 a
2a+√2 a=L
a=L/(2+√2)
c=√2L/(2+√2)
=L/(√2+1)

Answer 3

因三角形ABC为直角三角形且C=π/2，
则a=csinA，b=ccosA，
所以csinA＋ccosA＋c=L，
即：c=L/[1＋sinA＋cosA]=L/[1＋√2sin(A＋π/4)]
，则当A=π/4时，c取得最小值，
最小值是c=L/(1＋√2)=(√2－1)L。

Answer 4

所以最小值为“取等号时”