Question

已知关于x的方程x^2+(2k+1)x+k^2-2=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围（2）是否存

（2）是否存在实数k，使得此方程两根的平方和等于11？若存在，求出相应的k的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

【参考答案】

（1）△=(2k+1)²-4(k²-2)>0
4k²+4k+1-4k²+8>0
4k>-9
k>-9/4

(2)设两个根为a、b
根据韦达定理可得
a+b=-2k-1, ab=k²-2
∴11=a²+b²=(a+b)²-2ab
即 (-2k-1)²-2(k²-2）=11
解得 k=1或-3
∵k>-9/4
∴k=1

Answer 2

x²+(2k+1)x+k²-2=0
⊿=(2k+1)²-4(k²-2)＞0
4k＞-9
k＞-9/4
(2)
x1+x2=-(2k+1)
x1·x2=k²-2
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1·x2
11=(2k+1)²-2(k²-2)
k²+2k-3=0
(k+3)(k-1)=0
k1=-3, k2=1
∵k＞-9/4
∴取k=1

Answer 3

（1）
解：∵x^2+(2k+1)x+k^2-2=0有两个不相等的实数根
∴（2k+1)^2-4(k^2-2)＞0
4k^2+4k+1-4k^2+8＞0
4k+9＞0
k＞-9/4
∴方程x^2+(2k+1)x+k^2-2=0有两个不相等的实数根时
k的取值范围是＞-9/4

（2）
解：根据一元二次方程求根公式可得
x={[-(2k+1)±√[(2k+1)^2-4(k^2-2)]}/2
=[（-2k-1 ）±√（4k+9）]/2

若(x1)^2+(x2)^2=11
即{[（-2k-1 ）+√（4k+9）]/2}^2+{[（-2k-1 ）-√（4k+9）]/2}^2=11
4k^2+8k-12=0
k=1 ，或k=-3

k=-3和 k＞-9/4冲突，所以舍弃
所以，使得此方程两根的平方和等于11时
k=1

Answer 4

（1）△=(2k+1)^2-4(k^2-2)
=4k^2+4k+1-4k^2+8

=4k+9>0

k>-9/4

（2）设两根分别为x1，x2，有
x1+x2=-(2K+1),X1*X2=k^2-2

x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(2k+1)^2-2(k^2-2)=2k^2+4k+5=11

求出k=-3或1
又因为K>-9/4,所以k=1