Question

帮忙解答一下

Answer 1

4。设z=z(x，y)由方程x²+y²+z²=xyz确定，求dz
解：作函数F(x，y，z)=x²+y²+z²-xyz=0
先求偏导数：∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)=-(2x-yz)/(2z-xy)=(yz-2x)/(2z-xy)
∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z)=-(2y-xz)/(2z-xy)=(xz-2y)/(2z-xy)
故dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy=(yz-2x)/(2z-xy)dx+(xz-2y)/(2z-xy)dy=[1/(2z-xy)][(yz-2x)dx+(xz-2y)dy]
5。设z=cos(x²+y)，则∂²z/∂x²=?
解：∂z/∂x=-2xsin(x²+y)；故∂²z/∂x²=-2sin(x²+y)-4x²cos(x²+y)
三。解答题
1。设z=sin²(x+y)，求所有二阶偏导数
解：∂z/∂x=2sin(x+y)cos(x+y)=sin[2(x+y)]；∂z/∂y=2sin(x+y)cos(x+y)=sin[2(x+y)]；
∂²z/∂x²=2cos[2(x+y)]；∂²z/∂y²=2cos[2(x+y)]；
∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x=-4sin[2(x+y)]；

2。设函数f可微，z=f(ye^x，x/y²)，求∂z/∂x，∂z/∂y.
解：设z=f(u，v)；u=ye^x，v=x/y²；
那么∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)=(ye^x)(∂f/∂u)+(1/y²)(∂f/∂v)；
∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)=(e^x)(∂f/∂y)-(2x/y³)(∂f/∂v)；