Question

若连续函数F（X）满足关系式F（x）=ln2+S0到2x F（T/2）dt，则f（x）=？S为积分符号。

要详细步骤！！！ 谢谢
我有答案为（ln2）e~ 2x

Answer 1

这是个微分方程问题
首先对0到2x上的定积分令u=(t/2)
则定积分化为2∫f(u)du 积分限为0到x
这样方程变为:f(x)=ln2+2∫f(u)du 积分限为0到x
对上面的方程两求x的导数得:
f'(x)=2f(x) 设y=f(x)
即:dy/dx=2y
解得:lny=2x+C
y=e^(2x)*e^C
即:f(x)=e^(2x)*C' (*)
由原方程知当x=0时f(0)=ln2
代入(*)式得C'=ln2
所以f(x)=e^(2x)*ln2

Answer 2

原函数中,sf(t/2)dt=2*sf(t/2)d(t/2)
对原式两边求导有
f'(x)=2*f(2x/2)=2f(x)
按此规律,则可假设f(x)=ka^bx
则有k*a^bx*lna*b=k*2*a^bx
即有b*lna=2
有b=2
a=e
代入原式有
ke^2x=ln2+k*[e^2x -1]
k=ln2
即f(x)=(ln2)*e^2x

Answer 3

题目有问题吧?f（x）怎么冒出来的?