Question

函数表示法 案例（2） 设二次函数f（x）满足f（x-2）=f（-x-2）. 且其图像在Y轴上的截

函数表示法 案例（2）
设二次函数f（x）满足f（x-2）=f（-x-2）.
且其图像在Y轴上的截距为1. 在X轴截得线段长为√2 求f（x）的解析式

Answer 1

二次函数f（x）满足f（x-2）=f（-x-2）.
那么f(x)图像的对称轴为x=-2
∵在X轴截得线段长为√2
∴f(x)图像与x轴交点为(-2-√2/2,0),(-2+√2/2，0)
设零点式f(x)=a[x-(-2-√2/2)][x-(-2+√2/2)]
∵图像在Y轴上的截距为1
∴图像过(0,1)点，代入解析式得：
a(2+√2/2)(2-√2/2)=1
即(4-1/2)a=1,
∴a=2/7
∴f(x)=2/7(x+2+√2/2)(x+2-√2/2)
即f(x)=2/7*x²+8/7*x+1

追问

X轴交点
（-2-√2/2，0）
怎么得到的
零点式的表达式
不明白怎么得到的

追答

x=-2是对称轴，
抛物线与x轴交点也关于x=-2对称
∵抛物线在X轴截得线段长为√2
∴x=-2左边为半弦长√2/2, 右边为另一半
交点为(-2-√2/2,0)，（-2+√2/2,0)

即是ax²+bx+c=0的解为x1=-2-√2/2,x2=-2+√2/2
那么将ax²+bx+c可以分解成a(x-x1)(x-x2)
f(x)=a(x-x1)(x-x2)叫做零点是或双根式(交点式）

f(x)=ax²+bx+c 一般式
f(x)=a(x-h)²+k 顶点式

追问

∴x=-2左边为半弦长√2/2, 右边为另一半 交点为(-2-√2/2,0)，
这里不明白呀

追答

弦长即是两个交点（记作A,B）之间的距离
AB线段的中点是（-2，0）,AB的长为√2
自己画图看看，