高数:曲线的凹凸性
定理1:设函数f(x)在区间U内可导。如果f'(x)在区间U内单调增加(或单调减少),那么函数f(x)在区间U上的图形是凹的(或凸的)。定理2:设函数f(x)在区间U内二...
定理1:设函数f(x)在区间U内可导。如果f'(x)在区间U内单调增加(或单调减少),那么函数f(x)在区间U上的图形是凹的(或凸的)。定理2:设函数f(x)在区间U内二阶可导,那么 (1)若在U内,f''(x)>0,则函数f(x)在区间U上的图形是凹的; (2)若在U内,f''(x)<0,则函数f(x)在区间U上的图形是凸的。 例:判定曲线y=lnx的凹凸性。 解:因为y'=1/x,y''=-1/x^2,所以在函数y=lnx的定义区间(0,+∞)内,y''<0,由定理2可知,曲线y=lnx是凸的。 问:既然y'=1/x,在函数y=lnx的定义区间(0,+∞)内,y'>0,由定理1可知,曲线y=lnx是凹的。但是如果算出y''=-1/x^2,由定理2可知,曲线y=lnx是凸的。这题到底要不要算出函数y=lnx的二阶导数再得出结果呢?如果必需要算出函数y=lnx的二阶导数,那要定理1还有什么用呢? 请高人回答~!
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2个回答
2013-04-19
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1、y'>0不代表y'递增,定理1说的是y'递增则曲线凹 2、要不要求二阶导数要看题目,如果y'的单调性很容易判断出来,自然就不需要求y''了。比如本题用定理1也很容易,因为y'=1/x在(0,+∞)内递减。一般题目都是用定理2来做的 3、“y'=1/x,在函数y=lnx的定义区间(0,+∞)内,y'>0,由函数的单调性的定理1可知函数y=lnx在(0,+∞)上单调增加,再根据曲线的凹凸性的定理1,不就得出来曲线y=lnx是凹的了吗?” 还是错误的,y'的单调性才对应曲线的凹凸性,而不是y的单调性,看清楚定理的条件 4、定理1与定理2在一定条件下是一样的,比如y''存在且连续,则y'的单调性就对应y''>0或y''<0,这样定理1和定理2就是一样的 5、曲线的凹凸性与函数的极值的判定是类似的,都是有2个充分条件和1个必要条件,且结论的形式也类似,可以放在一起来理解
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2013-04-19
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y'>0只能说明函数y=lnx是单调递增的,而不是y'是单调递增的。
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