Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，点E、F分别在AB、AC的延长线上，EF交⊙O于点M、N，（接下面

交AD于点H，H是OD的中点，
弧MD =弧DN EH-HF=2．设∠ACB=a，tana=3/4，EH和HF是方程x2-（k+2）x+4k=0的两个实数根．
1）求EF和HF的长；
（2）求BC的长．

Answer 1

（1）解：因为EH, HF是方程的两个实数根
由题意和一元二次方程根与系数关系的不等式组：
判别式=[-(k+2)]^2-4*4k>0 (1)
EH+HF=k+2 (2)
EH*HF=4k >0 (3)
EH-HF=2 (4)
解得：EH=8 HF=6
EF=EH+HF=14
所以EF=14
HF=6
(2)解：因为AD是圆O的直径
所以弧ABD=弧ACD
因为弧ABD=弧ABM+弧MD
弧长ADD=弧ACN+弧DN
因为弧MD=弧DN
所以AD垂直EF
弧ABM=弧ACN
因为角AEN=1/2(弧ACN-弧BM)=1/2（弧AB+弧BM-弧BM)=1/2弧AB
角ACB=1/2弧AB
所以角AEF=角ACB
因为角ACB=a
所以角AEN=a
角AHE=90度
因为tana=AH/EH=3/4
所以AH=6
AE=根号(AH^2+EH^2)=10
AF=根号(AH^2+HF^2)=6倍根号2
因为H是OD的中点
所以DH=OH=1/2OD
OD=OA
AH=OA+OH=6
所以OA=OD=4
AB/sin角ACB=AD=2OA=8
sin角AEF=AH/AE=6/10=3/5
所以AB=24/5
因为角ACB=角AEF
角BAC=角EAF
所以三角形BAC和三角形FAE相似(AA)
所以BC/EF=AB/AF
所以BC/14=24/5/6倍根号2
BC=28倍根号2/5

Answer 2

Answer 3

(2)