Question

fx=2+1/a-1/a^2x 设mn>0 若0<m<n且a>0时 fx的定义域和值域都是m,n 求n-m的最大值

已知函数f(x)=2+ 1/a-1/a^2x 实数a∈R且a≠0．
（1）设mn＞0，令函数F（x）=af（x），试判断函数F（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；
（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围．

Answer 1

1.
a>0时，f(x)在(-∞, 0)上单调递增，在(0,+∞)上也单调递增，在[m，n]上也单调递增
a<0时，f(x)在(-∞, 0)上单调递减，在(0,+∞)上也单调递减，在[m，n]上也单调递减

2.
f(x)为增函数
f(m)=m
f(n)=n
2+1/a-1/(a^2m)=m
2+1/a-1/ (a^2n)=n
1/(2+1/a-m)=a^2m
2a^2m+am-a^2m^2=1
a^2m^2+2am(a+1/2)-1=0
(am+a+1/2)^2-(a+1/2)^2-1=0
mmin=-(a+1/2)^2-1
[an-(a+1/2)]^2+(a+1/2)^2-1=0
nmax=(a+1/2)^2-1
于是n-m最大=2(a+1/2)^2

3.
af(x)≤lnx
a(2+1/a-a/(ax))≤lnx
2a+1-1/x≤lnx
2a+1≤lnx+1/x
设g(x)=lnx+1/x
g'(x)=1/x-1/x^2≤0
x≤1
所以g(x)在[1,+∞)上单调递增
g(x)≥g(1)=1
2a+1≤1
a≤0
a≠0
所以a<0

Answer 2

第二小题
f(x)为增函数
所以 f(m)=m, f(n)=n
所以m,n为方程x^2-(2+1/a)x-1/a^2=0的两根
韦达定理：m+n=2+1/a nm=1/a^2
(n-m)^2=(m+n)^2-4mn=(2+1/a)^2-41/a^2=-31/a^2+4/a+4
令1/a=t
(n-m)^2=-3t^2+4t+4
所以当t=2/3时，(n-m)^2有最大值16/3
所以n-m的最大值为根号下16/3=4/3根号三