Question

几道数学题求解

1.已知动点p(x,y),在圆（x-2）^+y^=1上运动，y/x的最大值最小值是多少？
2.有一条光线从点a(-2,4)射到直线2x-y-7=0后再反射到点b(5,8),则这条光线从a到b的长度为多少？

Answer 1

1.已知动点p(x,y),在圆（x-2)²+y²=1上运动，y/x的最大值最小值是多少？

解一：设x=2+cost，y=sint，则u=y/x=sint/(2+cost)
令du/dt=[(2+cost)cost+sin²t]/(2+cost)²=(2cost+1)/(2+cost)²=0，得2cost+1=0，cost=-1/2；
故得驻点t₁=π-π/3=2π/3；t₂=π+π/3=4π/3；
于是得umax=(y/x)max=sin(2π/3)/[2+cos(2π/3)]=sin(π/3)/[(2-cos(π/3)]=(√3/2)/[2-(1/2)]=√3/3；
umin=(y/x)min=sin(4π/3)/[2+cos(4π/3)]=-sin(π/3)/[2-cos(π/3)]=-(√3/2)/[2-(1/2)]=-√3/3；
解二：作直线y=kx，则y/x=k=直线的斜率；当直线y=kx与园(x-2)²+y²=1相切时，即可获得k的最大值
和最小值。相切时切线长L=√3；即当kmax=(y/x)max=tan30°=1/√3=√3/3；Kmin=(y/x)min=tan(-30°)
=-√3/3。
2。有一条光线从点A(-2,4)射到直线2x-y-7=0后再反射到点B(5,8),则这条光线从a到b的长度为多少？
解：设点A关于直线2x-y-7=0的对称点A‘的坐标为(m，n)，由于AA'⊥L，故KAA'=(n-4)/(m+2)=-1/2，即有m+2n-6=0.........(1)
AA'的中点C的坐标为 ((m-2)/2，(n+4)/2)，C在直线2x-y-7=0上，故有：
(m-2)-(n+4)/2-7=0，即有2m-n-22=0.........(2)
(1)+2×(2)得 5m-50=0，故m=50/5=10，n=2m-22=20-22=-2，即A'(10，-2)；
那么光线所走路程的长度d=∣A'B∣=√[(10+2)²+(-2-4)²]=√180=6√5.
【光线走最短路程】

Answer 2

1.当原点与圆上一点的连线与圆相切时有最大和最小值。将y=kx代入圆方程，并且△=0，求得k=(1/3)½
2.a关于直线的对称点为c(10,-2),c和b点的距离即为题目中的长度，利用两点之间的距离公式求得长度为5倍根号5