Question

已知函数f(x)= lnx+a x (a∈R) （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，求a的

已知函数f(x)=(lnx+a )/x (a∈R)
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y-1=0平行，求a的值
（2）求y=f（x）的单调区间和极值
（3）当a=1，且x≥1时，证明：f（x）≤1．

Answer 1

f(x)=(lnx+a)/x
（1）f'(x)=(1-a-lnx)/x²
如果y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x-y-1=0平行
那么f'(1)=1所以（1-a）=1，a=0
（2）令f'(x)=f=(1-a-lnx)/x²=0---------解得x=e^(1-a)
若f'(x)<0,x^2恒大于0,所以1-lnx-a<0,lnx1-a,x<e^(1-a)
所以当x<e^(1-a)时，f(x)是减函数
同理，当x<e^(1-a)，f(x)是增函数
所以知x=e^(1-a)是极大值点
所以当x=e^(1-a)时，原函数
极大值=[lne^(1-a)+a]/e^(1-a)=1/e^(1-a)=e^(a-1)；
（3）只要证明lnx+1≤x就可以了令g(x)=lnx-x+1
g'(x)=1/x-1
而x=1时，g'(x)<=0
故g(x)是减函数
故g(x)=lnx-x+1<=g(1)<=0
故lnx+1≤x故f(x)=(lnx+a)/x(a∈R)当a=1且x≥1时，f(x)=(lnx+1)/x≤1；证毕。