已知定义在R上的函数f(x)对全称x x1 x2∈R 满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2

已知定义在R上的函数f(x)对全称xx1x2∈R满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2当x>0时有f(x)>-2求证f(x)在R上是增函数(2)已知函数f(x)... 已知定义在R上的函数f(x)对全称x x1 x2∈R 满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2 当x>0时 有f(x)>-2 求证f(x)在R上是增函数
(2)已知函数 f(x)对全称x y∈(0 正无穷)满足f(xy)=f(x)+f(y).
当>1时 有f(x)在(0 正无穷)上是减函数
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xiaoxi1981
2013-04-20 · TA获得超过1197个赞
知道小有建树答主
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1)证明:

由 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2,知f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)+2,所以f(0)=-2,
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)+2,f(x)+f(-x)=-4,所以f(-x)=-4-f(x)
对于x1>x2∈R,
有x1-x2>0,f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)+2=f(x1)+(-4-f(x2))+2=f(x1)-f(x2)-2>-2
所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在R上是增函数
2)的条件好象不足。
追问
证明是减函数
x>1时
f(x)0
f(x2-x1)>0
f(x2+(-x1))=f(x2)+f(-x1)+2>0
只要证明
f(x2)>f(-x1)+2
就是增函数了。
令x1=x2=0
f(0)=2f(0)+2
f(0)=-2
令x1=x1 x2=-x1
f(0)=f(x1)+f(-x1)+2
f(x1)=-f(-x1)+2
得函数是增函数
第二题也一样
令值 值得深思
求别的方法
追答
这是已知条件吗?
f(xy)=f(x)+f(y)

x>1时f(x)0,所以在(0,1)f(x)>0
1.令x>y>1,有x/y>1,f(x)-f(y)=f(x/y) x>y>0,有x/y>1,f(x)-f(y)=f(x/y) <0,所以f(x)在(0,1)递减

3.又f(1)=0,
综合1、2、3知道f(x)在(0,正无穷)是递减的。
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