Question

在△ABC中,设向量BC=a,向量CA=b,向量AB=c且(a×b):(b×c):(c×a)=1:2:3

(1)求△ABC的三边之比
（2）若△ABC的面积为2根号11，求三角形ABC的周长
（3）若△ABC的BC边上的中线长为3，求BC边上的高

Answer 1

（1）由于 BC+CA+AB=0 向量，因此 a+b+c=0 向量，
乘以 a 得 a^2+a*b+a*c=0 ，
因此 a*b+a*c= -a^2 ，------------------①
同理 b*c+b*a= -b^2 ，------------------② c*a+c*b= -c^2 ，---------------③
三式相加除以 2 得 a*b+b*c+c*a= -(a^2+b^2+c^2)/2 ，
分别减去 ①、②、③ 可解得 a*b=(c^2-a^2-b^2)/2 ，b*c=(a^2-b^2-c^2)/2 ，c*a=(b^2-c^2-a^2)/2 ，
设 a*b=k ，b*c=2k ，c*a=3k ，代入上式可解得
a^2= -4k ，b^2= -3k ，c^2= -5k ，
所以，三角形 ABC 三边之比为 |a|：|b|：|c|=2：√3：√5 。
（2）设三角形三边分别为 |a|=2m，|b|=√3*m ，|c|=√5*m ，
由余弦定理得 cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=2/√15 ，因此 sinA=√11/√15 ，
S=1/2*bcsinA=1/2*√15*m^2*√11/√15=2√11 ，解得 m=2 ，
所以三角形周长为 a+b+c=2(2+√3+√5)。
（3）设 BC 中点为 D ，则向量 AD=1/2*(AB+AC) ，即 AD=1/2*(c-b) ，
平方可得 9=1/4*(c^2+b^2-2b*c) ，
沿用（1）的记号，可得 9=1/4*(-5k-3k-4k) ，解得 k= -3 ，
所以 |a|=√12 ，|b|=3 ，|c|=√15 ，
由于 |AD|=|AC|=3 ，|DC|=1/2*|BC|=√3 ，
因此BC边上的高为 √[AD^2-(DC/2)^2]=(√33)/2 。