Question

一道关于不等式的题目（数学）

题目：设x、y为实数，满足3≤xy²≤8 4≤x²/y≤9 则x³/y的四次方的最大值为_？
以下为我的解题过程 但是答案是最大值为27

Answer 1

3≤xy²≤8 4≤x²/y≤9
易得：x>0，y>0

设x³/y^4=[(xy²)^m]*[x²/y]^k
则：3=m+2k
-4=2m-k
解得：m=-1，k=2
所以，x³/y^4=[(xy²)^(-1)]*(x²/y)²
3≤xy²≤8 4≤x²/y≤9
则：1/8≤(xy²)^(-1)≤1/3，16≤(x²/y)²≤81
所以，2≤x³/y^4≤27
即：x³/y^4的最大值为27

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

看是看懂了 我是想知道我那个方法哪里错了。。。

Answer 2

x³/y的四次方 = x²/y * x/y³
3≤xy²≤8 => 1/8 ≤1/xy²≤ 1/3 （1）
4≤x²/y≤9 （2）
（1）（2）两式相乘得：1/2 ≤ x/y³≤ 3 （3）
（2）（3）相乘可得：2 ≤ x³/y的四次方≤ 27
故最大值为27，最小值为2
因为x y 均大于0
3≤xy²≤8 中，x,y同取最大值时不等式成立

4≤x²/y≤9中，x取最大值，y取最小值时成立

两式相乘，得到的 12≤x³y≤72中，x,y同取最大值时不等式成立，这与前两个式子的约束相矛盾，所以应该是这个相乘有问题。

Answer 3

你没有考虑那个最大值能否取到。
应该这样，设(xy^2)^a*(x^2/y)^b=x^3/y^4
则a+2b=3,2a-b=-4
所以a=-1,b=2
所以x^3/y^4=(x^2/y)^2/(xy^2)<=9^2/3=27
当且仅当x^2/y=9,xy^2=3,即x=3,y=1时取等号

Answer 4

这个图能画清楚点吗

Answer 5