向量的外积表达式与方向。
向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。 [1]
定义
向量积可以被定义为：。
模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）
方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）
也可以这样定义（等效）：
向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>
即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。 [1]
坐标运算
设=（），=（）。i，j，k分别是X，Y，Z轴方向的单位向量，则 [1] ：
a×b=（-）i+（-）j+（-）k，为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成det
证明
为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的单位向量i，j，k。
i，j，k满足以下特点：
i=jxk；j=kxi；k=ixj；
kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；
ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）
由此可知，i，j，k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。
这三个向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。
对于处于i，j，k构成的坐标系中的向量u，v我们可以如下表示：
u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；
v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；
那么uxv=（Xu*i+Yu*j+Zu*k）x（Xv*i+Yv*j+Zv*k）
=Xu*Xv*（ixi）+Xu*Yv*（ixj）+Xu*Zv*（ixk）+Yu*Xv*（jxi）+Yu*Yv*（jxj）+Yu*Zv*（jxk）+Zu*Xv*（kxi）+Zu*Yv*（kxj）+Zu*Zv*（kxk）
由于上面的i，j，k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为
uxv=（Yu*Zv–Zu*Yv）*i+（Zu*Xv–Xu*Zv）*j+（Xu*Yv–Yu*Xv）*k。 [1]
与数量积的区别
注：向量积≠向量的积（向量的积一般指点乘）
一定要清晰地区分开向量积（矢积）与数量积（标积）。见下表。
几何意义及其运用
叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。 [1]
代数规则
1、反交换律：a×b=-b×a
2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。
4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。
6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
这是一个著名的公式，而且非常有用：
（a×b）×c=b（a·c）-a（b·c）
a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b）
证明过程如下：
二重向量叉乘化简公式及证明
可以简单地记成“BAC-CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。
这里给出一个和梯度相关的一个情形：
这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一个有用的拉格朗日恒等式是：
这是一个在四元数代数中范数乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。 [2]
矩阵形式
给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：
i×j=k；
j×k=i；
k×i=j；
通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设
a=[a1，a2，a3]=a1i+a2j+a3k；
b=[b1，b2，b3]=b1i+b2j+b3k；
则a×b=[a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1]。
叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a1，a2，a3]表示成四元数a1i+a2j+a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参看四元数（空间旋转）。 [2]
高维情形
七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。
七维叉积具有与三维叉积相似的性质：
双线性性：x×（ay+bz）=ax×y+bx×z；（ay+bz）×x=ay×x+bz×x；
反交换律：x×y+y×x=0；
同时与x和y垂直：x·（x×y）=y·（x×y）=0；
拉格朗日恒等式：|x×y|²=|x|²|y|²-（x·y）²；
不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：x×（y×z）+y×（z×x）+z×（x×y）≠0。
希望我能帮助你解疑释惑。
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其中i,j,k是三个单位向量.
行列式按第一行展开就行.
外积定义
把向量外积定义为：
符号表示：a× b
大小：|a|·|b|·sin<a,b>.
方向：右手定则：若坐标系是满足右手定则的，设z=x×y,|z|=|x||y|*sin<x,y>；则x,y,z构成右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。
外积的坐标表示：
（x1,y1,z1）×（x2,y2,z2）=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1）
外积的分配律a× (b+c) = a ×b +a ×c
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1）外积的反对称性：
a× b= - b× a.
这由外积的定义是显然的。
2）内积（即数积、点积）的分配律：
a·（b+ c) = a·b+ a·c,
（a+ b）·c= a·c+ b·c.
这由内积的定义a·b= |a|·|b|·cos<a,b>；，用投影的方法不难得到证明。
3）混合积的性质：
定义（a×b）·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：
i) (a×b）·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积 外积，其正负号由a,b,c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
简单证明：体积V=底面积S×高h
=|a×b|×|h|
=|a×b|×|c|×(c·h)/(|c||h|)
=|a×b|×(c·h)/|h|
而|h|=|a×b|
所以 V=c·h=c·(a×b）
从而就推出：
ii) (a×b）·c= a·（b×c)
所以我们可以记a,b,c的混合积为（a,b,c).
由i）还可以推出：
iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。
外积的分配律证明下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·（a×（b+ c））里，交替两次利用3）的ii）、iii）和数积分配律2），就有
r·（a×（b + c))
= (r×a)·（b+ c)
= (r×a）·b+ (r×a）·c
= r·（a×b) + r·（a×c)
= r·（a×b+ a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·（a×（b+ c) - (a×b+ a×c)) = 0
这说明矢量a×（b+ c) - (a×b+a×c）垂直于任意一个矢量。按3）的iv），这个矢量必为零矢量，即
a×（b+ c) - (a×b+ a×c) = 0
所以有
a×（b+ c) = a×b+a×c.
证毕
方向只能用文字说明而不能用数学用语表达吗？
你说的没错
