Question

三重积分用截面法求，被积函数是 e^z /√(x^2+y^2)

Ω: z=1,z=2, z=√(x^2+y^2)围成的闭区域，用截面法求时候
I = ∫∫∫ e^z / √(x^2+y^2) dxdydz
= ∫ e^z dz ∫∫ 1/√(x^2+y^2) dxdy
= ∫ 2π z e^z dz
= 2π [ (z-1)e^z |(z=2) - (z-1)e^z |(z=1) ]
= 2π e^2

其中第三行的“2πz”是怎么求出来的啊？

Answer 1

Dz就是平行于z轴的平面与椎体x² + y² = z²截得的截面面积，
为∫∫Dz dxdy = π(x² + y²) = πz²
∫∫∫ e^z/√(x² + y²) dxdydz
= ∫(1~2) [∫∫Dz 1/√(x² + y²) dxdy] e^z dz
= ∫(1~2) [∫∫Dz dxdy] e^z/z dz
= ∫(1~2) [(πz²) * e^z/z] dz

追问

不是“2πz”嘛，怎么觉得你少了个2

追答

那块截面分明是圆形
∫∫Dz dxdy
= ∫(0~2π) dθ ∫(0~z) r dr
= ∫(0~2π) (r²/2) |(0~z) dθ
= 2π * (z²/2 - 0²/2)
= 2π * z²/2
= πz²
看这个：http://zhidao.baidu.com/question/541582883.html

追问

那这题最后的计算结果是πe^2吗？答案上写的是2πe^2啊

追答

峩看到问题了，把被积函数放错位置了...顺便弄个球面坐标的算法

Answer 2

第三行就是平行于z轴的平面截闭区域所得的截面面积！！既是(x^2+y^2)xπ

追问

我知道，可我计算出来一直是πz啊，怎么会是2πz呢，答案确实是2πz

Answer 3

I = ∫∫∫ e^z / √(x^2+y^2) dxdydz
= ∫ e^z dz ∫∫ 1/√(x^2+y^2) dxdy
=∫ e^z dz∫(0-2pi)dθ∫(0-z)1/1r*rdr
=∫e^z*2pi*zdz