Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，等比数列{bn}，满足b2=a2，b3=a5，b4=a14．

（1）求数列{an}与{bn}的通项；

（2）设数列｛Cn｝对n属于N+都有C1/B1+C2/B2+……+Cn/Bn=an+1成立，求C1+C2+……+C2011

Answer 1

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1)
解：因为等差数列{an}的首项a1=1
所以a2=a1+d=1+d,a5=a1+4d=1+4d,a14=a1+13d=1+13d
因为{bn}为等比数列
所以(b3)^2=b2*b4
又a2=b2,a5=b3,a14=b4
所以(a5)^2=a2*a14
即(1+4d)^2=(1+d)*(1+13d)
所以1+8d+16d^2=1+14d+13d^2
即d^2-2d=0
所以d=2或d=0
又因为d＞0
所以d=2

所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1

所以b2=a2=3,b3=a5=9
故q=b3/b2=9/3=3
所以b1=b2/q=3/3=1

所以bn=b1*q^(n-1)=1*3^(n-1)=3^(n-1)

(2)
c1/b1+c2/b2+c3/b3+……+Cn/bn=a(n+1)

c1/b1+c2/b2+c3/b3+……+Cn/bn=2n
设cn/bn=gn
Tn=2n
gn=Tn-Tn-1=2 （n n-1 为下标）
所以Cn/Bn=2

Cn=2*3^(n-1)
则，运用等比数列求和公式
C1+C2+……+C2011=2x（1-3^n）\（1-3）
=3^n-1
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