Question

数列an中,Sn=4-an-1/2^(n-2),求a1,a2,a3,a4并猜想an的表达式,用数学归纳法证明

Sn=4-an-1/2^(n-2), 则a1＝s1=4-a1-1/2^(-1) a1=1
S(n-1)=4-a(n-1)-1/2^(n-3)
Sn-S(n-1)=4-an-1/2^(n-2)-[4-a(n-1)-1/2^(n-3)]
即 an =-an+a(n-1)-1/2^(n-2)+1/2^(n-3)
2an=a(n-1)+1/2^(n-2)
由此可求
a2=1=2/2
a3=3/4=3/2^2
a4=1/2=4/2^3
a5=5/16=5/2^4
……
猜想an=n/2^(n-1)
怎么证明

Answer 1

证明：
这个是数学归纳法来证明
（1）n=1时，显然成立
（2）假设n=k(k∈N*）时猜想成立
即 ak=k/2^(k-1)
则n=k+1时
2a(k+1)=ak+1/2^(k-1)
∴ a(k+1)=ak/2+1/2^k
=k/2^k+1/2^k
=(k+1)/2^k
=(k+1)/2^[(k+1)-1]
∴ n=k+1时，猜想也成立
∴ an=n/2^(n-1)