Question

基本不等式可不可以这么用

0<x<π/2
y=225/4 / sin^2(x)
+ksin^2(x)
+1/cosx
+1/cosx
+kcos^2(x)
>=15*√k + 3k^(1/3)
能不能写
y>=5(225/4 * k^2)^(1/5)

Answer 1

上面的不等式成立，下面的不成立。我们使用基本不等式，一定要注意不等式成立的条件。a+b>=2(ab)^(1/2),要求a，b都大于等于0，当且仅当a=b时等号取得。（这是二阶的，n阶不等式要求类似。）这里，0<x<π/2,保证了五个项都大于0.但是，我们还要考虑等号成立的条件。上面前两项和后三项分别使用基本不等式，等号成立的条件分别是k=225/(4sin^4(x)),和k=1/cos^3(x).如果x在（0，π/2）内至少有一个值使两个k相等，那么不等式等号就能取得。那么我们利用上面两个等式消去k，移项后，得到方程。可利用函数图象求解。发现在（0，π/2）内有解。说明存在这样的k。于是不等式等号成立。

如果5个项一起直接用基本不等式，那么不等式等号成立条件是这5项都相等。可以先取k sin^2(x)和k cos^2(x)两项令其相等，解得k=8^0.5，再令前两项相等和后两项相等，然后代入k的值，得两个方程。还是用函数图象求解。得两个图象。

发现两个x的解不相等。我们知道，在（0，π/2）内正弦和余弦都是单调的，所以不可能有两个不同的x。也就是说，5项连用基本不等式得到的结果等号是取不到的。所以下面的不等式不成立。