Question

已知数列{an}中,a1=1,数列{an}的前n项和为Sn,且n,an,Sn成等差数列

已知数列{an}中,a1=1,数列{an}的前n项和为Sn,且n,an,Sn成等差数列。
(1)求证，数列｛Sn+n+2｝是等比数列
（2）求数列｛an｝的通项公式

Answer 1

证明：对于任意的正整数n，有n，An,Sn成等差数列2An=n+Sn
2A(n+1)=n+1+S(n+1)=n+1+Sn+A(n+1)
有A（n+1）= Sn +n+1
于是(S(n+1)+n+1+2 )/(Sn+n+2)=( 2A(n+1)+2)/ (A（n+1）+1)=2
所以数列（Sn+n+2)成等比数列

由2An=n+Sn，A（n+1）= Sn +n+1有A（n+1）=2An+1
所以A2=2A1+1=2+1=3,A3=2A2+1=4+2+1=7
A4=2A3+1=8+4+2+1=15,……
于是，An=2^(n-1)+2^(n-2)+…+1=2^n-1
[[求An也可如下：
由2An=n+Sn，A（n+1）= Sn +n+1有A（n+1）=2An+1
则A（n+1）+1=2（An+1）
所以{An+1}是以A1+1=2为首项，2 为公比的等比数列，
An+1=2*2^(n-1)=2^n,那么An=2^n-1]]