Question

定积分 单调性问题

Answer 1

左边0到π的积分不动，现在变π到2π的积分：
∫(π→2π)(1-cost)^2sintdt=∫(-π→0)(1-cos(x+2π))^2sin(x+2π)d(x+2π) （令x=t-2π）
=∫(-π→0)(1-cosx)^2sinxdx
=∫(-π→0)(1-cost)^2sintdt
所以左边=∫(-π→0)(1-cost)^2sintdt+∫(0→π)(1-cost)^2sintdt
=∫(-π→π)(1-cost)^2sintdt

追问

遇到此类题的时候，如何快速判断被积区间是否可以化为对称区间？

追答

三角函数有对称性、周期性，我觉得画个图、依靠这2个性质，试一下就差不多了吧。。。。