Question

在抛物线y=x^2上存在不同的两点M,N关于直线l:y=-kx+9/2对称，求k的取值范围

Answer 1

y=x^2上存在两个不同的点关于直线Y=-kx+9对称
既然存在，那我就把它设出来吧
就是满足的两点为A（m,m²），B（n,n²），所以直线AB方程 （m+n)x-y-mn=0
AB关于直线Y=-kx+9对称
就必需直线AB与直线Y=-kx+9垂直
所以有m+n=-k
还要
线段AB中点在直线Y=-kx+9上而AB中点是【（m+n)/2,(m²+n²)/2】代入直线方程Y=-kx+9
就是,(m²+n²)/2=-k（m+n)/2+9化简并代入m+n=-k消去n整理出
【m²+（k+m)²】/2=-k²/2+9
持续化得
k=-m/3±√【5m²/9+6】
如今变成讨论-m/3±√【5m²/9+6】的范围了，显然m≥0
再树立函数判别他的值域就是了
做到这里我踌躇了，由于我不断深信数学不是要我们苦算的东西
然后改动思绪
直线Y=-kx+9显然是过定点（0,9）就以（0,9）为圆心，恣意半径做很多个圆
。。。吃早餐去了
吃好午饭了
最后必杀，就以后面没说过，重新如下
y=x^2和Y=-kx+9联立消去y化简得
x²+kx-9=0 ①
显然△>0,所以①一定成立
要想存在两个不同的点关于直线Y=-kx+9对称就是x²+kx-9=0 的两个根x1,x2满足
x1x2=-9,x1+x2=-k联立消去x2
就是x1(x1+k)=9,还有x1∈R
就是k=9/x1-x1,x1∈R求k的范围

Answer 2

解：设抛物线y=x²①上的两点分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)。M、N两点关于直线L：y=-kx+9/2对称，那么M、N两点一定在L：y=-kx+9/2关于y轴对称的直线L1：y=kx+9/2②上。将①、②联立求解得：（x1-x2)=√(k²+18)，(y1-y2)=k√(k²+18)/2，M，N的中点坐标为：[√(k²+18)/2，k√(k²+18)/4]