Question

随机变量X的概率密度为f(x)=2x/π*π,0<x<π求Y=sin X的概率密度，需要详细过程！谢

随机变量X的概率密度为f(x)=2x/π*π,0<x<π求Y=sin X的概率密度，需要详细过程！谢了！

Answer 1

FY（y）=P（Y<=y）=P(sinX<=y)=P(0<X<=arcsiny)+P(π-arcsiny<=X<π)
=x^2/π│（0到arcsiny）+x^2/π│（π-arcsiny到arcsiny）
=2arcsiny/π
故fy（y）=（2arcsiny/π）‘=2/（π√（1-y^2）） 0<y<1
=0 其他

追问

为什么P(sin X)=P(0<X<arcsiny)+P(兀<X<兀-arcsiny)?

追答

首先反三角函数是有定义域的arcsiny （x是属于-π/2到π/2），对于范围之外的就需要用角的推广了。这里x是属于(0,π）的
当x属于(0,π/2)可以直接使用，而当x>π/2时，就需要用角的推广了。
其实，你也可以直接画出sinx的图像（0，π），再画出Y=y这条水平线，即可找到sinX<y的范围了