Question

（2012•莆田）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．
AB /BC =BD /DC =1，求AF /FC 的值； （重在第二题 麻烦大家写清晰些）急用！

Answer 1

1、根据射影定理，易证：AB^2=AD*AC
具体证法：∵∠ABC=90°，∴∠A＋∠C＝90°，又∵BD⊥AC于D，∴∠ADB＝∠CDB＝90°
，∴∠A＋∠ABD＝90°，所以∠A＝∠A，∠C＝∠ABD，∴△ADB相似于△ABC，所以AB/AD=AB/AC,∴AB^2=AD*AC.
2、根据梅氏定理，可得：①式：BD/DC*CA/AF*BF/EF=1;②式:CD/DB*BF/EF*ED/DA=1.∵AB/BC=DB/DC=1，∴AB=2BD，CA/AF*BF/EF=1=BF/EF*ED/DA（将BF/EF消掉）,∴CF/CA=DE/DA.易证△ABD相似于△BED相似于△AEB，所以DE/BE=BE/AE=1/2,∴DE/AE=1/4.∵DE/DA=CF/CA,所以AE/DE=AF/CF=1/4.

Answer 2

答案2：1
从F点划垂线于BC于G点，AF/FC=CB/GB.CG=FG.FG=1/2BD