Question

用三重积分计算立体Ω的体积

,其中Ω是由曲面z=根号(x^2+y^2)与z=1+根号(1-x^2-y^2)所围城的闭区间

Answer 1

当被积函数ƒ(x，y，z) = 1时三重积分几何意义为立体Ω的体积。
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球面坐标：
所求体积 = ∫∫∫_Ω dV
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/4) sinφdφ ∫(0→2cosφ) r²dr
= 2π∫(0→π/4) sinφdφ * [ r³/3 ] |(0→2cosφ)
= (2/3)π∫(0→π/4) 8cos³φ d(- cosφ)
= (- 16/3)π * (1/4)[ cos⁴φ ] |(0→π/4)
= (- 4/3)π * (1/4 - 1)
= π
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柱面坐标：Dz：z² = x² + y² => Dzの面积 = πz²
所求体积 = ∫∫∫_Ω dV
= ∫∫∫_Ω₁ dV + ∫∫∫_Ω₂ dV
= ∫(0→1) [∫∫_Dz dxdy] dz + ∫∫Dxy [∫(1→1 + √(1 - x² - y²)) dz] dxdy
= ∫(0→1) πz² dz + ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) rdr ∫(1→1 + √(1 - r²) dz
= π/3 + 2π * ∫(0→1) r√(1 - r²) dr
= π/3 + 2π * (1/3)
= π
其中:Ω₁是由锥面z = √(x² + y²)和z = 1围成
Ω₂是由半球体z = 1 + √(1 - x² - y²)和z = 1围成

Answer 2