Question

(1)定义在R上的函数y=f(x),它的图象 既关于直线x=a对称，又关于直线 x=b（b≠a）对称

(1)定义在R上的函数y=f(x),它的图象 既关于直线x=a对称，又关于直线 x=b（b≠a）对称，求证它是周期函 数，周期T=2(b-a)。 (2)定义在R上关于直线x=a对称的周 期函数y=f(x),其最小正周期为A，则

它必关于直线x= 对称

Answer 1

(1)
∵函数y=f(x),它的图象关于直线x=a对称
∴f(a+x)=f(a-x)
∵函数y=f(x),它的图象关于直线x=b对称
∴f(b+x)=f(b-x)
∴f[x+2(b-a)]
=f[b+(x+b-2a)]
=f[b-(x+b-2a)]
=f(2a-x)
=f[a+(a-x)]
=f[a-(a-x)]
=f(x)
∴f(x)为周期函数，周期T=2(b-a)。
（2）
定义在R上关于直线x=a对称的周期函数y=f(x),其最小正周期为A，
则它必关于直线x=a+kA/2,k∈Z 对称

∵f(x)图像关于x=a对称
∴f(a+x)=f(a-x)
∵周期函数y=f(x),其最小正周期为A
∴f(kA+x)=f(x)
当k为偶数2n时,
f[a+kA/2+x]=f(a+nA+x)=f(a-x)=f[a+kA/2-x]
∴f(x)关于x=a+kA/2对称

当k=2n+1时，
f[a+kA/2+x]=f(a+nA+A/2+x)=f(a+A/2+x)=f[a-(A/2+x)]
=f[a+(2n+2)A/2-(A/2+x)]
=f[a+(2n+1)A/2-x]
=f[a+kA/2-x]

∴总有f[a+kA/2+x]=f[a+kA/2-x]
∴f(x)图像关于x=a+kA/2,k∈Z对称