设函数f(x)=(1/3)mx³+(4+m)x²,g(x)=alnx,其中a≠0

(1)若函数y=g(x)图像恒过定点P,且点P在y=f(x)的图像上,求m的值(2)当a=8时,设F(x)=f’(x)+g(x),讨论F(x)的单调性(3)在(1)的条件... (1)若函数y=g(x)图像恒过定点P,且点P在y=f(x)的图像上,求m的值

(2)当a=8时,设F(x)=f’(x)+g(x),讨论F(x)的单调性
(3)在(1)的条件下,设G(x){(f(x),x≤1),(g(x),x>1),曲线y=G(x)上是否存在两点P、Q,使三角形OPQ是以O为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在y轴上?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由
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(1)、函数y=g(x)=alnx图像恒过定点P,则点P为(1,0),将点P得坐标代入f(x)=(1/3)mx³+(4+m)x²,即m/3+(4+m)=0,解得:m=-3。
(2)、f’(x)=mx²+2(4+m)x,所以F(x)=f’(x)+g(x)=mx²+2(4+m)x+8lnx;
F‘(x)=2mx+2(4+m)+8/x=2(m+4/x)(x+1);
令F’(x)=0,得:x=-1,x=-4/m;
m<0时,x在(﹣无穷,-1)和(0,-4/m)区间,F’(x)>0,F(x)为单调增函数。
x在(-1,0)和(-4/m,+无穷)区间,F’(x)<0,F(x)为单调减函数。
0<m<4时,x在(﹣无穷,-4/m)和(-1,0)区间,F’(x)<0,F(x)为单调减函数。
x在(-4/m,-1)和(0,+无穷)区间,F’(x)>0,F(x)为单调增函数。
m>4时,x在(﹣无穷,-1)和(-4/m,0)区间,F’(x)<0,F(x)为单调减函数。
x在(-1,-4/m)和(0,+无穷)区间,F’(x)>0,F(x)为单调增函数。
(3)、G(x)=f(x)=x²-x³,(x≤1);G(x)=g(x)=alnx,(x>1);
假设存在两点P(s,t)在f(x)上,Q(u,v)在g(x)上符合题目要求,则根据题意有:
t=s²-s³;v=alnu;-s=u;v/u*t/s=-1;解得:a=1/(1+u)lnu;
u>1,所以,a>0。
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