Question

设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x属于R,(1)讨论f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小植

①`当x小于等于a，函数f(x)=x2-x+a+1=(x-1/2)2+a+3/4
若a小于等于1/2,则函数在（-∞，a]上单调递减

为什么 ，若a小于等于1/2,是递减，为什么，怎么看出来的

Answer 1

因为对称轴是x=1/2，f（x）是减函数
并且x小于等于a，
所以有x≤a≤1/2时，f（x）是减函数

（1）f（-x）=（-x）²+|-x-a|+1
=x²+|x+a|+1
若a=0，则f（x）=f（-x）
f（x）为偶函数
若a≠0，则f（x）≠f（-x），f（x）≠-f（-x），
f（x）为非奇非偶函数
（2）
①当x≤a，函数f(x)=x²-x+a+1=(x-1/2)²+a+3/4
若a≤1/2,则函数在（-∞，a]上单调递减
f（x）min=f（a）=a²-a+a+1=a²+1
若a＞1/2,则函数在（-∞，1/2]上单调递减
f（x）min=f（1/2）=1/4-1/2+a+1=a+3/4
②当x≥a时，f(x)=x²+x-a+1=(x+1/2)²-a+3/4
若a≥1/2,则函数在[a ，+∞）上单调递增
f（x）min=f（a）=a²+a-a+1=a²+1
若a＜1/2,则函数在[1/2，+∞）上单调递增
f（x）min=f（1/2）=1/4+1/2-a+1=7/4-a