Question

线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.

如图2，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N
（3）在图2中，若∠D=40,∠P=30，试求∠B的度数；
（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.并说明理由
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Answer 1

解：（3）

如图 ∠DMP=∠1+∠D ① ∠DMP=∠2+∠P ②

     ∠BNP=∠1+∠P ③ ∠DMP=∠2+∠B ④

由①②得 ∠1+∠D=∠2+∠P ⑤

由③④得 ∠1+∠P=∠2+∠B ⑥

从而 ⑤-⑥得 ∠D-∠P=∠P-∠B

∴∠B=2∠P-∠D

     =2*30-40

     =20度

 

（4）∠P与∠D、∠B之间存在着的数量关系是: ∠P=1/2(∠B+∠D)可参考上面(3)来证明这个数量关系。

 

Answer 2

（4）∠AMC=∠D+∠A/2=∠P+∠C/2，①
∠ANC=∠B+∠C/2=∠P+∠A/2，②
①+②，化简得
∠D+∠B=2∠P.
(3)由上式得∠B=20°.

Answer 3

首先连接ac，，然后，令∠dap=∠pab=∠1，∠dcp=∠pcb=∠2
2∠1+∠bac+∠acd=140 ①
∠1+∠bac+∠2+∠acd=150 ②
用2x②-①
∠b=180-2∠2-∠bac-∠acd

解得，∠b=20