Question

已知定义在（0，正无穷）上的函数f（x）满足对任意x,y属于（0，正无穷）都有xyf（xy）＝xf（x）+yf（y）

记数列an＝f（2∧n）

1，证明a1＝a2
2，令数列bn＝2∧n × an，求证数列bn为等差数列
3，若a1＝1,Sn为数列an的前n项和，求Sn

Answer 1

1、在已知等式中，取 x=y=2 得 4f(4)=2f(2)+2f(2)=4f(2) ，
l因此 f(2)=f(4) ，即 a1=a2 。
2、在已知等式中，取 x=2 ，y=2^n (n=1，2，3，。。。) ，
则 2^(n+1)*f[2^(n+1)]=2f(2)+2^n*f(2^n) ，
即 b(n+1)=2f(2)+bn ，
则 b(n+1)-bn=2f(2) 为定值，因此 ｛bn｝是等差数列 。
3、因为 a1=1 ，所以 b1=2a1=2 ，公差 d= 2f(2)=2a1=2 ，
所以 bn=2n ，
则 an=bn/2^n=n/2^(n-1) ，
所以 Sn=1+2/2+3/4+.......+n/2^(n-1) ，
两边同乘以 2 得 2Sn=2+2+3/2+.......+n/2^(n-2) ，
相减得 Sn=2+[1+1/2+1/4+....+1/2^(n-2)]-n/2^(n-1)
=2+2-1/2^(n-1)-n/2^(n-1)
=4-(n+1)/2^(n-1) 。