Question

A是n阶矩阵,A^2=A,A不等于E,证明:A的行列式等于0

错证一：因为|A|ˆ2=|A|,即|A|(|A|-1）=0；又因为A不等于E，故|A|不等于1，从而|A|=0︳
错证二：因为A(A-E)=0，得|A|*|A-E|=0:;又因为A-E不等于0，故|A-E|不等于|0，从而|A|=0
错证三：由A(A-E)=0，因为A-E不等于0，故A=0，从而|A|=0
分析上面三种错证，找出错误的原因，并给出正确的证明。

Answer 1

因为 A^2=A
所以 A(A-E)=0
所以 r(A)+r(A-E)<=n.
又因为 A≠E
所以 r(A-E)>=1
所以 r(A)<n
所以 |A| = 0.

追问

r(A)是什么，貌似不知道

追答

r(A) 是A的秩
如果没学过秩, 可用反证法
若|A|≠0, 则 A 可逆
再由 A^2=A 等式两边左乘A^-1得 A=E 矛盾.

错证一：因为|A|ˆ2=|A|,即|A|(|A|-1）=0；又因为A不等于E，故|A|不等于1，从而|A|=0
错误: A不等于E，故|A|不等于1
A=
3 2
0 1/3

错证二：因为A(A-E)=0，得|A|*|A-E|=0:;又因为A-E不等于0，故|A-E|不等于|0，从而|A|=0
错误: 因为A-E不等于0，故|A-E|不等于|0
A=
1 2
2 4
A≠0, 但 |A|=0

错证三：由A(A-E)=0，因为A-E不等于0，故A=0，从而|A|=0
错误: AB=0 不一定有A=0 或B=0
矩阵的乘法有零因子

Answer 2

这题问的人比较多。
其实是没想明白。
考虑其逆否命题。（反证法）
即，若A^2=A，若A的行列式不等于零。
那么A可逆，故A=E。
故
A不等于E,证明:A的行列式等于0