Question

已知抛物线y=ax²+2x+c的图像与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3)

Answer 1

（1）将点A(3,0)，B(0,3)代入抛物线，可得
0=9a+6+c, 3=c
解得，a=-1，c=3
∴抛物线解析式为y=-x^2+2x+3
（2）抛物线对称轴为x=1，设点D=D(1,d)
由于点A,B关于对称轴对称，∴有AD=CD
∴BD+CD=BD+AD，
即D点到B,C的最小值，即相当于D点到A,B的最小值
易知，当A,B,D三点共线时，AD+BD取得最小值
此时，有k(AD)=k(AB)
即有 d/(-2)=3/(-3)=-1，可得d=2
∴所求点D坐标为D(1,2)
（3）△ABP的面积最大时，点P到AB的距离最大
易知，当过P点的切线与AB平行时，此距离最大
对抛物线求导，可得 y'=-2x+2
设点P=P(p,q)，则有
q=-p^2+2p+3, y'(p)=-2p+2=-1=k(AB)
联立可解得 p=3/2, q=15/4
∴所求点P坐标为P(3/2,15/4)

Answer 2

解：（1）将A（3，0）、B（0，3）代入y=ax²+2x+c，得
{9a+6+c=0
c=3
解得{a=-1
c=3
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3
(2)∵y=-x²+2x+3＝-（x-1）²+4
∴抛物线的对称轴为直线X＝1
∵抛物线y=-x²+2x+3与X轴交于点A（3，0），由对称性，可得C（-1，0）
连接AB，则AB于抛物线的对称轴直线X＝1的交点就是所求的D点。
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（3，0）、B（0，3）代入，得
{3k+b=0
b=3
解得：{k=-1
b=3
∴直线AB的解析式是y=-x+3
令X＝1，得y=-1+3=2
∴D（1，2）
（3）设在第一象限的抛物线上存在点P（m，n），则n= -m²+2m+3
连接OP，
则S△ABP＝S△PBO+S△PAO－S△AOB
＝½×3m+½×3×(-m²+2m+3)－½×3×3
=(3/2)m－(3/2)m²+3m+(9/2)－(9/2)
=-(3/2)m²+(9/2)m
=(-3/2)[m－(3/2)]²＋(27/8)
∴当m=3/2时，n= -m²+2m+3＝15/4，
即存在点P（3/2，15/4），使S△ABP有最大值。