已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，E，F分别为AA1，CC1的中点 （1）求点A1到平面EBFD1的距离
如图所示，取BB1的中点G,过G作GH⊥D1B于H
因为EBFD1关于D1B轴对称，且与面D1BB1垂直，所以GH等于A1到面EBFD1的距离
因为D1B=√3 a , D1B1=√2 a , 所以sin∠D1BB1=√6 /3
又由于GB=a/2 ， GH/GB=sin∠D1BB1=√6 /3
所以GH=√6a/6
即求A1到平面EBFD1的距离是√6a/6
（2）向量法
建立以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的空间直角坐标
A1(a,0,a)D1(0,0,a) B(a,a,0) E(a,0,1/2a)
向量D1A1=（a,0,0)
向量D1E=(a,0,-1/2a)
向量D1B=(a,a,-a)
设向量a是平面EBFD1的法向量
向量a·向量D1E=0
向量a·向量D1B=0
不妨设向量a=(a,a,2a)
cos<向量D1A1,向量a>
=a^2/√a^2*√(6a^2)=√6/6
A1D1与平面EBFD1所成角的正弦值=√（1-1/6）=√30/6
很高兴为您解答，祝你学习进步！
有不明白的可以追问！如果您认可我的回答。希望采纳，谢谢！
EBFD1关于D1B轴对称，且与面D1BB1垂直，之后为什么GH就等于A1到面EBFD1的距离？
我画了一个剖面图，这回能理解了吗
KI，GH都是点A1到平面EBFD1的距离
（1）连结EF、A1C1，易证A1C1∥EF，即 A'C'∥平面EBFD1，所以A、P到此平面的距离相等；
∵ P是A1C1的中点、O是EF的中点，∴ PO⊥EF、D1O⊥EF，∴ EF⊥平面D1PO；
∴ P到平面EBFD1即RT△D1PO斜边D1O上的高；
从图上不难看出，PO=a/2，正方体对角线之半 D1P=√2a/2，正方体对角线之半 D1O=√3a/2；
∴ 斜边D1O上的高=(a/2)*(√2a/2)/(√3a/2)=√6a/6；即 A到EBFD1的距离等于 √6a/6；
（2）∵ B1C1∥A1D1，∴ A1D1、B1C1与平面EBFD1的夹角相同；
∵ B1B=2倍A1E=2倍C1F，∴ B1到EBFD1的距离=2倍A1到EBFD1的距离=2倍C1到EBFD1的距离；
∴ B1C1与EBFD1夹角的正弦=B1与C1到平面EBFD1的距离差/B1C1=(√6a/6)/a=√6/6；
