Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,an>0(n属于N),Sn=1/2(an+1/an)（1）计算a1

已知数列{an}的前n项和为Sn,an>0(n属于N),Sn=1/2(an+1/an)（1）计算a1,a2,a3,a4,并猜想an的表达式（2）用数学归纳法证明你的结论

Answer 1

sn=1/2(an+1/an)，an=sn-s(n-1)
所以2sn=sn-s(n-1)+1/[sn-s(n-1)]
sn+s(n-1)=1/[sn-s(n-1)]
sn的平方-s(n-1)]的平方=1
以此推处
s(n-1)]的平方-s(n-2)]的平方=1
s(n-2)]的平方-s(n-3)的平方=1
……………
s2的平方-s1的平方=1
左边相加得出 sn的平方-s1的平方=n-1， s1=a1很容易算出来等于1
sn的平方=n，sn=根号n
an=sn-s(n-1)=根号n-根号(n-1)
a1直接代进去算 a1=s1=1/2(a1+1/a1) 所以a1=1
用公式a2=根号2-1
a3=根号3-根号2

Answer 2

嗯，上式可知，(sn)^2-(s(n-1)^2)=1,有可知s1=a1=1，所以sn=(n)^(1/2),an=n^(1/2)-(n-1)^(1/2),这就是主要部分了