Question

数学排列组合 详细解答 清晰过程

如图,从5中不同颜色中选择若干种颜色,给正四面体ABCD的每条棱染色.。要求每条棱只染一种颜色，且共点的棱染不同的颜色，则不同的方法共有多少种。。
图

Answer 1

若只是用3种颜色
则AB有5种选择，AC有4种选择,AD有3种选择，
然后BC只能旋转AD的颜色，BD只能选择AC的颜色，CD只能选择AB的颜色
所以有5*4*3=60种不同方法
若只用4种颜色
当AB\AC\AD颜色选定以后，
BC只能旋转AD的颜色或第4种颜色，BD只能选择AC的颜色或第4种颜色，CD只能选择AB的颜色或第4种颜色，且这三者只能有1个选择第4种颜色
而第4种颜色有2种选择
所以有5*4*3*2*3=360种不同方法
若用完5种颜色
即BC\CD\BD中恰有两条可用新颜色
所以有5*4*3*（1*2*1+2*2*1）=360种不同方法
所以一共有780种不同方法

Answer 2

正四面体ABCD中有3对异面直线，所以
最少3色，选3色全排有5*4*3=60种，
若用4色，则必有一对异面直线不同色，3对中选一对，有3种选法，再选两种色涂在这一对异面直
线上，有5×4种，另两对有3×2种，所以共有3×5×4×3×2=360种；
若用5色，则只有一对同色，其余每条棱不同色，有3×5×4×3×2×1=360种，
故共有780种。