Question

函数f(x)=x^3+ax^2+1,x∈R.(1)讨论函数 f(x)的单调区间(2)设函数f(x)在

函数f(x)=x^3+ax^2+1,x∈R.(1)讨论函数 f(x)的单调区间(2)设函数f(x)在(-2/3,-1/3)是减 函数,求a的取值范

Answer 1

（1）f(x)=x^3+ax^2+1

得到f'(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a)
当a=0时，f‘（x）>=0恒成立 故f（x）在R上单调递增
当a<0时，令f'(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a)>0 得x<0或x>-2a/3
令f'(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a)<0 得0<x<-2a/3
故f（x）的单调递增区间是（-∞，0）（-2a/3，+∞），单调递减区间是（0，-2a/3）
当a>0时，令f'(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a)>0 得x<-2a/3或x>0
令f'(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a)<0 得-2a/3<x<0
故f（x）的单调递增区间是（-∞，-2a/3）（0，+∞），单调递减区间是（-2a/3，0）
（2）函数f(x)在(-2/3,-1/3)是减 函数
故f'（x）<0在(-2/3,-1/3)上恒成立
即x(3x+2a)<0在(-2/3,-1/3)上恒成立
得到3x+2a>0在(-2/3,-1/3)上恒成立
推出a>-1.5x在(-2/3,-1/3)上恒成立
所以a>=-1.5*(-2/3)=1
所以a的取值范围是a>=1