Question

请求老师的指教:一个数列, 从第三项起, 每一项的数值都是前两项的和, 求第n项的通式.

如: 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ......求第2010项的值.
谢谢

Answer 1

这类题有个基本的解法，就是特征方程法。
设方程 x^2=x+1 的两个根分别为 x1、x2 （可解出 x1=(1-√5)/2 ，x2=(1+√5)/2 ，满足 x1+x2=1 ，x1*x2= -1）
则等式 a(n+1)=an+a(n-1) 可化为
a(n+1)-x1*an=x2*[an-x1*a(n-1)] ，----------（1）
和 a(n+1)-x2*an=x1*[an-x2*a(n-1)] ，-----------（2）
因此数列｛a(n+1)-x1*an｝及 ｛a(n+1)-x2*an｝均是等比数列，公比分别为 x2、x1 ，
所以可得 a(n+1)-x1*an=(a2-x1*a1)*x2^(n-1) ，-----------（3）
a(n+1)-x2*an=(a2-x2*a1)*x1^(n-1) ，--------------（4）
以上两式相减，可解得 an=1/(x2-x1)*[(a2-x2*a1)*x1^(n-1)-(a2-x1*a1)*x2^(n-1)] ，
利用初始条件 a1=3 ，a2=4 及 x1、x2 可写出通项公式。

事实上，如果特征方程的两个根不相等，则一定有 an=c1*x1^n+c2*x2^n ，
然后利用初始值 a1=3，a2=4 可解出 c1、c2 ，很快得到通项，无须中间那么烦杂的推导。
剩下的你自己写吧。

Answer 2

你说的这个数列叫做“斐波那契数列”，通项公式为

 

 在百度百科上可以搜到

追问

谢谢老师, 这是一道小学六年级的奥数题,对他们来说,这个式子他们也只能是背下来了, 让他们推导出来太难了, 是这样吧?
这道题的原题目是让求出上面这个数列中的第2010项除以6的余数是几? 小学的学生又要怎样做呢?

追答

是的，对于小学生来说，即使是背下来也不容易。
奥数我接触得很少，所以不了解。抱歉，我无法仅在小学的知识条件下解答。
我粗略运算的结果显示，第2010项约等于5.2X10^419，也就是说这个数值的长度有420位，其中最前面的两个数字是52，后面跟了418个0。

你可以自己想象一下，52后面跟着8个0，已经是五万亿两千亿，更何况418个0。我真不知道它除以6以后的余数会是多少。