Question

设a属于(0,π/2),函数f(x)的定义域为{0,1}且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f((x+y)/2)=f(x)sina+(1-sina)f(y

设a属于(0,π/2),函数f(x)的定义域为{0,1}且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f((x+y)/2)=f(x)sina+(1-sina)f(y ）

(1)求f(1/2)\f(1/4)的值(2 an=1/2的n次方 求f（an） 求 高手

Answer 1

（1）定义域应该表示为（0,1）吧，{0，1}表示定义域只0和1 两个值

 

看完之后你可能会有疑问：为什么不令x=0，y=1来求f（1/2）或f（1/4）

这样求出的值不一样，原因是题目中有条件当x≥y是，才有后面等式的成立。

后面令x=（1/2）^n，y=0也一样

Answer 2

根据题中给定的条件：
令x=1，y=0，有f(1/2)=f(1)sina+(1-sina)f(0)=sina
令x=1/2，y=0，有f(1/4)=f(1/2)sina+(1-sina)f(0)=sin²a
令x=1，y=1/2，有f(3/4)=f(1)sina+(1-sina)f(1/2)=2sina-sin²a
令x=3/4，y=1/4，有f(1/2)=f(3/4)sina+(1-sina)f(1/4)=3sin²a-2sin³a
∴3sin²a-2sin³a=sina
考虑到a∈(0, π/2)，那么sina∈(0, 1)，解得sina=1/2
(1) f(1/2)/f(1/4)=sina/sin²a=2
(2) a=π/6
(3) g(x)=sin(π/6-2x)
=sin(π/6)cos(2x)-cos(π/6)sin(2x)
=(1/2)(2cos²x-1)-(√3/2)(2sinx•cosx)
=cos²x-√3•sinx•cosx-1/2