Question

已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动，且|MN|=2，动点P满足：

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Answer 1

已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，且|MN|=2，动点p满足：2

OP
=

OM
+

ON
（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．

（I）求曲线C的方程，并讨论曲线C的类型；
（Ⅱ）过点（0，1）作直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若对于任意m＞1，都有∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
分析：（I）根据题意可判断出P是MN的中点．设出P，M，N的坐标，根据题意联立方程求得
x21
m2
+

y2
m2
=1，然后对m＞1，o＜m＜1和m=1对方程表示出曲线进行分类讨论．（II）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用直线方程表示出y1y2，要使∠AOB为锐角，需

OA
•

OB
＞0，利用向量的基本运算整理得m2+

1
m2
＞ K2 +1，利用基本不等式求得m2+

1
m2
＞2进而求得k的范围．
解答：解：（I）由2
op=
OM+
ON，得P是MN的中点．
设P（x，y），M（x1，mx1），N（x2，-mx2）依题意得：
x1+x2 =2xmx1-mx2=2y (x1-x2)2+(mx1+mx2)2=4
消去x1，x2，整理得x21m2+
y2m2=1．
当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
当o＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当m=1时，方程表示圆．
（II）由m＞1，焦点在y轴上的椭圆，直线l与曲线c恒有两交点，
因为直线斜率不存在时不符合题意，
可设直线l的方程为y=kx+1，直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
y=kx+1x21m2+
y2m2=1⇒（m4+k2）x2+2kx+1-m2=0
x1+x2 =-
2km4+k2，x1x2=-
1-m2m4+k2
y1 y2=(kx1+1)(kx2+1)=
k2(1-m2)m4+k2+
2k2m4+k2+1
要使∠AOB为锐角，则有OA•
OB＞0
∴x1x2+y1y2=m4-(k2+1)m2+1 m4+k2＞0
即m4-（k2+1）m2+1＞0，
可得m2+
1m2＞ K2 +1，对于任意m＞1恒成立．
而m2+
1m2＞2，∴K2+1≤2，-1≤k≤1
所以满足条件的k的取值范围是[-1.1]．

Answer 2

动点P？题目不全

Answer 3

动点P？题目不全