Question

问一个关于导数的分类讨论问题

我不明白的是一种比如说F(X)=ax的三次方（-3/2）x²+1在闭区间-1/2，1/2 内＞0恒成立的问题 看了很多资料说是要把a进行分类讨论 第一种是0＜a≤2 一种是a＞0 为什么要这么讨论 我给高分
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Answer 1

这个问题涉及到闭区间{a,b]上函数F(x)的最大最小值的求法(1)求出F(x)在(a,b)内的驻点，以及不可导的点假若这些点位x1,x2,...xn,(2)计算F(a),F(x1),F(x2),...F(xn),F(b) (3)上一步的函数值中最小（大）的即F(x)在[a,b]上的最小（大）值
本题只需要函数F(x)的最小值>0即可。
F'(x)=3ax^2-3x=3x(ax-1)=0的x=0,1/a
有两个驻点。关键是驻点1/a是否在（-1/2,1/2)内则需讨论

所以要讨论a>0还是a<0同时还要考虑1/a与区间【-1/1,1/2]端点-1/2,1/2的大小
（I）a<0
（i)1/a<=-1/2即-2<=a<0时F(x)在(-1/1,1/2)只有唯一驻点0
F(0)=1>0
F(-1/2)=-a/8-3/8+1=5/8-a/8>0
F(1/2)=a/8-3/8+1=5/8+a/8>0恒有F(x)>0

(ii)-1/2< 1/a<0即a<-2,此时函数在(-1/1,1/2)有两个驻点1/a,0
F(1/a)=1/a^2-3/2a^2+1=1-1/(2a^2)>0
F(0)=1>0
F(-1/2)=-a/8-3/8+1=5/8-a/8>0
F(1/2)=a/8-3/8+1=5/8+a/8
此时函数在【-1/1,1/2]上最小值为F(1/2)=5/8+a/8 要F(x)>0很成立需 5/8+a/8>0,即-5<a<-2
(i),(ii)总之 -5<a<0
(2) a>0
（i) a>2
此时函数在【-1/1,1/2]上有两个驻点0,1/a
F(0)=1,F(1/a)=1-1/(2a^2)>0
F(-1/2)=5/8-a/8,
F(1/2)=5/8+a/8
最小值为F(-1/2)=(5-a)/8要F(x)>0很成立需 a<5此时 要2<a<5
(ii) 0<a<=2
此时F(x)在【-1/1,1/2]只有唯一驻点0，F(0)=1，
F(-1/2)=5/8-a/8,F(1/2)=5/8+a/8要F(x)>0很成立需最小值 F(-1/2)>0,即a<5亦即 0<a<2
(i),(ii)总之 0<a<5
(1),(2)总之 -5<a<5