Question

ω是x²+x+1=0的根,则1+ω+ω²+....+ω^100=

ω是x²+x+1=0的根,则1+ω+ω²+....+ω^100=

Answer 1

解答：
ω是x²+x+1=0的根
∴ ω²+ω+1=0
∴ 1+ω+ω²+....+ω^100
=1+ω+ω²（1+ω+ω²）+ω^5（1+ω+ω²）+....+ω^98（1+ω+ω²）
=1+ω
∵ x²+x+1=0
即 (x+1/2)²=-3/4
∴ x+1/2=±(√3/2)i
即x=-1/2±(√3/2)i
∴ ω=-1/2±(√3/2)i
∴ 1+ω+ω²+....+ω^100
=1+ω
=1/2±(√3/2)i

Answer 2

ω是x²+x+1=0的根
则 ω²+ω+1=0
1+ω+ω²+....+ω^100=(1+ω+ω²)+ω³(1+ω+ω²)+....+ω^97(ω²+ω+1)+ω^100
=ω^100
∵
∴ ω²+ω+1=0
(ω-1)(ω²+ω+1)=0
ω³-1=0
ω³=1
ω^100= ω(ω³)^33
= ω
故 1+ω+ω²+....+ω^100=ω

Answer 3

∵ω是x²+x+1=0的根
∴ω²+ω+1=0 ω(ω²+ω+1)=ω3+ω2+ω=0 ω3=1
故1+ω+ω²+....+ω^100=(1-ω^101)/(1-ω)=(1-ω^2)/(1-ω)=1+ω

Answer 4

百度的，参考下哈
配方或公式都行，
下面用配方法吧
x^2+x+1=0
∴ (x+1/2)²=-3/4
∴ x+1/2=±(√3/2)i
∴ x=-1/2±(√3/2)i
w=-1/2±(√3/2)i

∵若1+x+x^2=0，1+x=-x^2
-w²=1/2±(√3/2)i
又x³-1=(x-1)(x²+x+1)=0
∴x³=1
∴x^99=1

∴(1+ w+ w^2)+( w^3+ w^4+ w^5)+…+( w^96+ w^97+ w^98)+ w^99+ w^100
=(1+ w+ w^2)+ w^3(1+ w+ w^2)+…+ w^96(1+ w+ w^2)+ w^99(1+ w)
=0+0+.....+0+ w^99*(- w^2)
=- w^2

=1/2±(√3/2)i
【数学之美】很高兴为你解答，不懂请追问！满意请采纳，谢谢！O(∩_∩)O~